Determinan

kspansi Kofaktor

Determinan merupakan fungsi dari matrik bujursangkar, n x n, ke bilangan riil.
Ada beberapa definisi yang dikembangkan dalam rangkaian determinan ini, dua yang terkenal adalah:
Menggunakan Permutasi dan Kofaktor.

Pendefinisian menggunakan permutasi terkesan rumit, karena itu dalam tulisan ini menggunakan definisi kofaktor yang bersifat rekursif (definisi menggunakan dirinya sendiri).

Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau │A│
Sebagaimana telah diketahui determinan dari matrik 2x2, sebagai berikut:

Lambang │…│ dalam hal ini, bukanlah lambang nilai mutlak, tetapi lambang determinan.
Untuk Matrik berorde 3 x 3, determinan didefinisikan, sebagai berikut:

Cara penulisan di atas dapat diubah menjadi :

Dari kenyataan di atas, bahwa determinan suatu matrik dapat dicari dengan menggunakan determinan matrik yang lebih kecil ukurannya (sub matrik), mendorong didefinisikannya determinan secara formal di bawah ini yang bersifat rekursif.
Definisi: Misalkan Anxn=[aij], maka minor dari aij, yang dilambangkan oleh Mij, adalah determinan dari sub matrik A yang diperoleh dengan cara membuang semua entri pada baris ke-i dan semua entri pada kolom ke-j. Sedangkan kofaktor dari aij, yang dilambangkan oleh Cij, adalah (-1)i+jMij.

Contoh:

Jawab:

Dengan telah terdefinisikannnya minor dan kofaktor, maka dapatlah didefinisikan determinan, sebagaimana dalam definisi berikut:
Definisi: Misalkan Anxn=[aij], determinan dari A didefinisikan sebagai berikut:

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+ …+ ainCin

{karena baris ke-i menjadi acuan/tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i}

det(A) = a1jC1j + a2jC2j+ …+ anjCnj

{karena kolom ke-j menjadi acuan/tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j}

SIFAT-SIFAT DETERMINAN DAN REDUKSI BARIS

Sifat-sifat determinan:

det(AB)=det(A)det(B)
det(AT)=det(A)
Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari semua entri pada diagonal utama}
Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari semua entri pada diagonal utama}
Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)
det(A-1)=1/det(A)
Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0
Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:

Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k≠0, maka det(A’)=k det(A(=)
Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)
Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)

Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0

Dengan menggunakan sifat-sifat tersebut, penghitungan determinan dapat lebih dipermudah, metode yang digunakan dinamakan metode reduksi baris, yaitu dengan tetap memperhatikan sifat-sifat determinan, matrik diubah menjadi matriks segitiga.
Contoh :
Tentukan determinan matrik di bawah ini, menggunakan reduksi baris:

Jawab:

Penggunaan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor secara bersamaan, menyebabkan penghitungan determinan suatu matrik menjadi lebih mudah lagi.
Hal ini diperlihatkan pada contoh di bawah ini:

Metode Cramer

Definisi: Misalkan Anxn=[aij], Cij adalah kofaktor dari entri aij, matrik:

disebut matrik kofaktor. Transpos matrik kofaktor A disebut matrik adjoin A ditulis adj(A).
Contoh: Tentukan matrik kofaktor A dan matrik adj(A):

Dengan telah terdefinisikannya matrik adjoin, maka didapat cara lain menghitung matrik invers dengan menggunakan matrik adjoin. Untuk itu perlu dihitung jumlah dari perkalian antara entri dan kofaktor yang tidak seletak.
Pandang dua matrik berikut ini:

Pandang dua ekspresi berikut ini:
b1 = a11C31 + a12C32 + a13C33
b2 = a11C’31 + a12C’32 + a13C’33
Karena matriks A dan A’ seperti di atas maka, C31=C’31, C32=C’32, dan C33=C’33, akibatnya b1=b2, sedangkan b2=det(A’).
Dikarenakan matrik A’ memuat dua baris yang saling berkelipatan, maka det(A’)=0, sehingga b1=0.
Dan dengan melakukan hal yang sama untuk matrik berordo nxn, maka dapat diambil kesimpulan : "Jumlah dari perkalian antara entri dan kofaktor yang tidak seletak adalah nol. "

Berikut akan dihitung A adj(A) (matrik A dikali dengan matrik adjoin A):

secara umum entri pada matrik di atas dapat ditulis, sebagai berikut:

Jika i≠j, maka seperti hasil di atas didapat bij=0.
Jika i=j, maka ekspresi di atas bij=det(A). Sehingga:

Contoh:
Dengan menggunakan rumus diatas, tentukan A-1 dari matrik di bawah ini:

Jika sistem persamaan linier, berbentuk AX=B, dengan matrik koefisien mempunyai invers, maka dapat diselesaikan dengan cara, sebagai berikut:

Untuk memudahkan mengingatnya, bentuklah matrik Aj, yaitu matrik yang diperoleh dari matrik A dengan cara mengganti semua entri pada kolom ke-j dengan suku konstan B, seperti berikut ini:

Contoh:

Tentukan x dan z dari Sistem Persamaan Linier di bawah ini, menggunakan aturan Cramer:
−2x + 3y − z = 4
3x + 2y + 3z =1
2x − y+ 3z =2
Jawab:
Bentuk persamaan matrik (AX=B) dari sistem persamaan linier di atas, adalah:

Karena yang diminta x, yang dalam sistem persamaan linier dinyatakan sebagai anu yang pertama, maka dibentuk Ax, yaitu matrik A yang semua entri pada kolom pertama diganti suku konstan.