Ruang Dan Vektor

Ruang-n Euclides

Seperti yang telah diketahui sebuah vektor di R2 dinyatakan oleh sepasang bilangan terurut u=(u1, u2), begitupun vektor di R3 dinyatakan tiga bilangan terurut u=(u1, u2, u3). Permasalahan mulai timbul setelah R3, apakah perlu dikembangkan R4, dan bagaimana visualisasinya. Jawabnya tentu perlu dikembangkan ke R4, R5, bahkan sampai Rn. Hal ini dapat dilihat pada Sistem Persamaan Linier yang telah dibicarakan pada sub bab sebelumnya, yang ternyata permasalahan vektor bukan hanya sampai R3, melainkan sampai Rn. Masalah visualisasi tidak dapat dilaksanakan, karena dunia ini hanya disusun oleh konsep tiga dimensi.

Definisi: Sebuah vektor di Rn, dinyatakan oleh n bilangan terurut, yaitu u=(u1, u2, ..., un)

Pada R2 atau R3, sebuah urutan bilangan di atas bermakna, yaitu sebagai titik atau sebagai vektor. Dalam Rn, keduanya dianggap sama, sehingga Rn merupakan generalisasi titik sekaligus generalisasi vektor.

Vektor nol: yaitu vektor yang semua entri-nya nol, misalkan o=(0, 0, ..., 0)

Misalkan u, v ∈ Rn, dua vektor disebut sama, atau u = v, jika dan hanya jika u1=v1, u2=v2, ..., un=vn {semua entri yang seletak sama}

Operasi-Operasi pada vector Rn

1. Penjumlahan

Misalkan u, v ∈ Rn , didefinisikan :

u + v = (u1+v1, u2+v2, ..., un+vn) {entri yang seletak dijumlahkan}

Contoh:

Misalkan u=(2, -1, 9, 3, 4), v=(1, -2, 3, -2, 1, 0), w=(5, -8, 2, 3, 4, 5)

u + v = tidak terdefinisi, karena u ∈ R5, sedangkan v ∈ R6

v + w = (1+5, (-2)+(-8), 3+2, (-2)+3, 1+4, 0+5)=(6, -10, 5, 1, 5, 5)

2. Perkalian dengan skalar

Misalkan u ∈ Rn , k skalar, didefinisikan : ku = (ku1, ku2, ..., kun) {setiap entri dikalikan dengan skalar}

Contoh:
Misalkan u = (2, -1, 9, 3, 4), -3u = (-6, 3, -27, -9, -12)
Akibat dari didefinisikannya perkalian dengan skalar, maka didapatlah operasi pengurangan, yaitu :
u - v = u + (-v) = u + (-1)v

Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian dengan skalar:

Misalkan u, v, w ∈ Rn , k, l skalar, berlaku:

a. u + v = v + u { komutatif}

b. (u + v) + w = u + (v + w) {asosiatif}

c. c. u + o = o + u = u {anggota identitas}

d. u + (-u) = (-u) + u = o {invers anggota}

e. k(u + v) = ku + kv {distributif terhadap skalar}

f. (k+l)u = ku + lu {distributif terhadap skalar}

g. (kl)u = k(lu) {asosiatif perkalian dengan skalar}

h. 1.u = u {perkalian dengan skalar 1 (satu)}

Kedelapan sifat di atas nantinya akan diambil sebagai sebuah kebenaran (aksioma) dan ditambah dengan dua aksioma ketertutupan dipakai untuk mendefinisikan ruang vektor.

3. Hasil Kali Titik (hasil kali dalam Euclides)

Misalkan u, v ∈ Rn , didefinisikan :
u • v = u1v1 + u2v2+ ...+unvn {jumlah dari semua hasil kali entri yang seletak}

Contoh:
Misalkan u=(2, -1, 9, 3, 4), v=(1, -2, 3, -2, 1, 0), w=(5, -8, 2, 3, 4, 5)

u • v = tidak terdefinisi, karena u ∈ R5, sedangkan v ∈ R6

v • w = 1.5 + (-2).(-8) + 3.2 + (-2).3 + 1.4 + 0.5= 5 + 16 + 6 – 6 + 4 + 0 = 25

Sifat hasil kali titik:

Misalkan u, v, w ∈ Rn , k skalar, berlaku:
a. u • v = v • u {komutatif}
b. u • (v + w) = u • v + u • w) {distributif}
c. k(u • v) = (ku) • v= u • (kv) {kehomogenan}
d. u • u > 0, jika u≠o, dan u • u = 0, jika u = o {kepositifan}

Keempat sifat di atas nantinya akan diambil sebagai kebenaran (aksioma) untuk membentuk definisi hasil kali dalam.

4. Norm/ Besar/ Panjang Vektor

Dari sifat d, hasil kali titik antara vektor dengan vektor itu sendiri tak negatif, karena itu dapat digunakan untuk mendefinisikan norm/ panjang vektor.

Misalkan u ∈ Rn didefinisikan : 7 u 7 = (u • u)1/2 {akar dari hasil kali titik dengan dirinya sendiri}
Contoh:
Misalkan u=(2, -4, 9, -2, 4),

maka 7 u 7= (2.2 + (-4).(-4) + 9.9 + (-2).(-2) + 4.4)1/2 = (4 + 16 + 81 + 4 + 16)1/2 = 11

5. Sudut antara dua vektor

Secara geometri kita tak mampu menggambarkan (memvisualisasikan) vektor Rn, karena itu sudut diantara dua vektor pun, bukanlah sudut dalam makna yang dapat digambarkan demikian itu.
Melainkan sudut dalam makna yang di dalam ide saja.
Misalkan u, v ∈ Rn , didefinisikan sudut diantara vektor u dan v, dinyatakan sebagai cosinusnya:

Contoh:
Misalkan u=(2, -1, 9, 3, 4) dan v=(1, -2, 3, -2, 1)

6. Jarak antara dua vektor

Hasil lain dari sifat d, dapat digunakan mendefinisikan jarak antara dua vektor. Misalkan u, v ∈ Rn didefinisikan :

d(u, v)=7 u – v 7 = ((u -v)• (u -v))1/2 {norm dari u dikurang v}

Contoh:
Misalkan u=(2, -4, 9, -2, 4) dan v=(1, -2, 0, 2, 3),

maka d(u, v)=7u - v 7= 7(1, -2, 9, -4, 1)7 = (1.1 + (-2).(-2) + 9.9 + (-4).(-4) + 1.1)1/2 = (103)1/2
Himpunan dari semua vektor di Rn, yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan hasil kali titik yang telah didefinisikan di atas disebut ruang n Euclides.