Transformasi Linier

PENGERTIAN

Pemetaaan F dari ruang vektor V ke ruang vektor W, berarti setiap anggota V dikaitkan dengan tepat satu anggota di W. V disebut domain dan W disebut kodomain. Anggota W, misalkan y∈W, yang mempunyai kaitan dengan anggota V, misalkan x∈V, melalui pemetaan F, atau ditulis y=F(x) disebut peta dari x, sedangkan x disebut prapeta dari y.

Misalkan F pemetaan dari R3 ke R2 dengan rumus: F(x, y, z)=(x + 2y, 2x - 3z)

Maka (0, 1, -1) adalah prapeta dari (2, 3), karena F(0, 1, -1)=(2, 3).

Himpunan bagian dari W yang semua anggotanya mempunyai prapeta di V disebut daerah nilai atau daerah jangkauan atau range, secara formal dilambangkan :
R(F)={y∈W |∃ x ∈V, ∋ y =F(x)}.

Transformasi linier, yaitu pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor yang lain yang memenuhi aksioma kelinieran. Transformasi linier banyak dipakai dalam bidang-bidang yang lain, seperti: ekonomi, fisika, keteknikan, dll. Khusus untuk informatika banyak dipakai dalam bidang citra (image).

DEFINISI

Misalkan V dan W ruang vektor.

Fungsi (Pemetaan) dari V ke W, F: -> W, disebut transformasi linier, jika memenuhi dua aksioma, berikut:
a. F(u + v)=F(u) + F(v), untuk setiap u dan v anggota V.
b. F(ku)=kF(u), untuk setiap u anggota V dan setiap k skalar (dalam buku ini k anggota bilangan riil)
Kedua aksioma di atas dapat disingkat menjadi satu aksioma berikut:
F(ku + lv)=kF(u) + lF(v), untuk setiap u dan v anggota V dan untuk setiap k dan l skalar

Contoh:
Apakah fungsi F(x, y, z)=(x + 2y, 2x – 3z) merupakan transformasi linier?

Jawab:

Fungsi di atas merupakan fungsi dari R3 ke R2.

Untuk menunjukkan F transformasi linier, maka ambil anggota dari R3 yang berbentuk umum, sehingga memenuhi aksioma kelinieran.

Ambil u, v ∈ R3 , misalkan u=(x1, y1, z1) dan v=( x2, y2, z2), dengan mengingat aturan penjumlahan vektor u+v=( x1+ x2, y1 + y2, z1 + z2), maka nilai fungsi u+v adalah:

F(u + v) = (( x1 + x2) + 2(y1 + y2), 2(x1 + x2) – 3(z1 + z2)) {definisi fungsi}
F(u + v) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, 2x1 + 2x2 – 3z1 – 3z2) {sifat distributif bilangan riil}
F(u + v) = ((x1 + 2y1) + (x2 + 2y2), (2x1 – 3z1) + (2x2 – 3z2)) {sifat asosiatif bilangan riil}
F(u + v) = (x1 + 2y1, 2x1 – 3z1) + (x2 + 2y2, 2x2 – 3z2) {aturan penjumlahan vektor}
F(u + v) = F(u) + F(v) {definisi fungsi} 

Ambil u R3 , dan ambil k skalar, maka dengan mengingat perkalian vektor dengan skalar, ku=( kx1, ky1, kz1), maka nilai fungsi ku adalah:

F(ku) = (kx1 + 2ky1, 2kx1 - 3kz1) {definisi fungsi}
F(ku) = (k(x1 + 2y1), k(2x1 - 3z1)) {sifat distributif bilangan riil}
F(ku) = k(x1 + 2y1, 2x1 - 3z1) {aturan perkalian vektor dengan skalar}
F(ku) = kF(u) {definisi fungsi}

Jadi, fungsi yang diberikan di atas termasuk transformasi linier.


Misalkan A matrik berordo m x n yang tetap.
Maka fungsi T(x)=Ax , dimana xRn , merupakan transformasi linier. Karena misalkan x1, x2 Rn , maka T(x1 + x2) = A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = T(x1) + T(x2). Dan yang kedua, misalkan x1Rn , dan k skalar, maka T(kx1) = A(kx1) = k(Ax1) = kT(x1). Transformasi linier yang demikian disebut transformasi perkalian matrik atau biasa dikenal sebagai transformasi matrik. Setiap Transformasi Linier dari Rn ke Rm, dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks.

Fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke vektor nol, disebut fungsi nol, yang secara lambang ditulis: T(v) = 0, ∀v∈V.

Apakah fungsi nol termasuk transformasi linier?
1. Ambil u, v∈V, maka T(u+v) = 0 {definisi fungsi}

T(u+v) = 0+0 {sifat vektor nol}
T(u+v) = T(u)+T(v) {definisi fungsi}

2. v∈V, maka T(kv) = 0 {definisi fungsi}

T(kv)=k.0 {sifat perkalian vektor nol dengan skalar}
T(kv)=kT(v) {definisi fungsi}

Jadi, fungsi nol merupakan transformasi linier.

Fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke dirinya sendiri, disebut fungsi identitas, yang secara lambang ditulis: T(v) = v, ∀v∈V.
Apakah fungsi identitas termasuk transformasi linier?
1. Ambil u, v ∈V, maka T(u + v)= u + v = T(u) + T(v)

2. Ambil v∈V, dan k skalar, maka T(kv) = kv = kT(v)

Jadi, fungsi identitas termasuk transformasi linier.

Transformasi linier dari ruang vektor ke ruang vektor yang sama disebut operator linier, T: V -> V.
Sifat-sifat Transformasi Linier Jika T transformasi linier dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka dipenuhi sifatsifat berikut:

a. T(oV) = oW

b. T(-u) = T(u), untuk setiap u  V
c. T(u - v) = T(u) - T(v), untuk setiap u, vV

Bukti:

Vektor o = 0.u, sehingga T(o) = T(0.u) dengan aksioma transformasi linier, maka skalar nol dapat dikeluarkan, yang berakibat: T(0.u)=0.T(u)=o. Jadi, T(oV) = oW, dimana oV artinya vektor nol di ruang vektor V dan oW adalah vektor nol di ruang vektor W. Vektor minus, merupakan perkalian antara vektor dengan skalar minus satu atau –u = (-1).u, sehingga T(-u) = T(-1.u) = (-1)T(u) = -T(u). Akibatnya, jelas T(u - v) = T(u) - T(v).

Koordinat

Pada definisi yang akan digunakan, koordinat ditentukan oleh skalar-skalar kombinasi linier, karena itu perlu dilihat apakah kombinasi linier suatu vektor terhadap suatu basis ruang vektor, tunggal. Untuk melihat ini perhatikan uraian berikut: Misalkan V ruang vektor dan suatu basis untuk V, misalkan B = {v1, v2, …, vn}, misalkan pula u V. Andaikan ada dua cara menyatakan kombinasi linier dari vektor u terhadap basis B, yaitu:

u = k1v1 + k2v2 + …+ knvn dan u = l1v1 + l2v2 + …+ lnvn

Berarti o = u – u = (k1v1 + k2v2 + …+ knvn) – (l1v1 + l2v2 + …+ lnvn) = (k1 - l1)v1 + (k2 - l2)v2 + +…+ (kn - ln)vn
Karena B bebas linier, maka persamaan vektor di atas hanya dipenuhi oleh: k1 - l1 = k2 - l2 = …= kn - ln = 0 atau k1 = l1, k2 = l2 , …, kn = ln Jadi, kombinasi linier suatu vektor terhadap suatu basis tertentu selalu tunggal.

Definisi: Misalkan V ruang vektor, B = {v1, v2, …, vn} basis V, uV, kombinasi linier u terhadap basis B: u = k1v1+k2v2+ …+knvn Skalar-skalar pada kombinasi linier u terhadap basis B menjadi komponen dari koordinat u terhadap basis B sehingga dapat ditulis:


Dari definisi ini letak vektor anggota basis mempengaruhi letak komponen dalam koordinat. Dengan definisi ini pula, koordinat suatu vektor pada ruang vektor tidak tunggal dikarenakan basis dari suatu ruang vektor tidak tunggal.

Contoh:

Tentukan koordinat vektor u=(2, 3, -1) terhadap basis:
a. B = { v1=(1, 0, 0), v2=(0, 1, 0), v3=(0,0,1)}
b. C = {v1=(1, 1, 0), v2=(1, 0, 1), v3=(0,1,1)}.

Jawab:
a. Dengan menggunakan eliminasi Gauss atau perkalian dengan matrik invers, maka sistem persamaan linier: u = k1v1 + k2v2 + k3v3 mempunyai jawab: k1 = 2, k2 = 3, dan k3 = -1, sehingga koordinat u terhadap basis B adalah:  

b. Dengan menggunakan eliminasi Gauss atau perkalian dengan matrik invers, maka sistem persamaan linier: u = k1v1 + k2v2 + k3v3 mempunyai jawab: k1 = 3, k2 = -1, dan k3 = 0, sehingga koordinat u terhadap basis C adalah: 

Matrik P disebut matrik transisi dari basis B’ ke basis B, nama ini disesuaikan dengan komponen pada kolom matrik P yang berasal dari koordinat vektor-vektor pada basis B’ terhadap basis B. Dengan demikian didapatkan hubungan antara koordinat terhadap basis B dan koordinat terhadap basis B’, ya+itu: [u]B = P[u]B’

Sifat-sifat matrik transisi:

a. Jika P matrik transisi dari basis B’ ke basis B, maka P selalu mempunyai invers
b. P-1 adalah matrik transisi dari basis B ke basis B’

Dengan sifat ini didapatkan rumus baru, yaitu: [u]B’ = P-1[u]B.

Hasil yang meringankan untuk mengubah matrik transisi dari basis B’ ke basis B menjadi matrik transisi dari basis B ke basis B’ diperoleh jika B dan B’ merupakan basis ortonormal pada ruang hasil kali dalam yang sama, yang dinyatakan dalam teorema berikut:
"Jika P adalah matrik transisi dari satu basis ortonormal ke basis ortonormal yang lain pada sebuah ruang hasil kali dalam, maka P-1 = PT."

Matriks Transformasi Linier

Jika T: V → W transformasi linier dan B = {v1, v2, . . . , vn} basis dari V dan peta dari setiap vektor pada basis tersebut ada, misalkan peta dari setiap vektor pada basis B adalah T (v1), T (v2), . . . , T (vn), maka peta dari semua vektor di V dapat ditentukan.

Karena B basis di V, maka setiap vektor di V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari B, misalkan untuk u ∈ V mempunyai kombinasi linier terhadap basis B sebagai berikut:

Langkah-langkah untuk mencari basis baru yang membuat matrik penyajian berbentuk diagonal adalah:
1. Bentuklah matrik penyajian terhadap basis baku
2. Tentukan nilai eigen dari matrik penyajian terhadap basis baku
3. Tentukan vektor eigen dari matrik penyajian terhadap basis baku
4. Matrik penyajian T terhadap basis baru adalah matrik diagonal yang entryentry pada diagonal utama adalah nilai eigennya
5. Basis baru adalah himpunan vektor-vektor eigen yang dinyatakan sebagai kombinasi linier terhadap basis baku

Soal:

Jawaban: