Vektor Di Bidang dan Ruang

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor memainkan peranan yang sangat penting dalam menggambarkan kelakuan dari fenomena alam ini. Vektor digambarkan oleh ruas garis yang dilengkapi dengan anak panah. Panjang ruas garis sebagai perwakilan dari besar vektor, sedangkan anak panah menunjukkan arah dari vektor. Sebuah vektor dimulai dari titik awal (initial point) dan diakhiri oleh titik akhir (terminal point).

Pada gambar di atas, vektor a dan b sama, walaupun letaknya berbeda, dikarenakan panjang ruas garis dan arah vektor a dan b sama. Sedangkan vektor c, dikarenakan panjang ruas garisnya berbeda, maka vektor a ≠c, apalagi arah dari vektor c juga berbeda. Vektor dilambangkan oleh huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan panah di atasnya, sehingga vektor a dapat ditulis sebagai a, atau a.

Dalam konsep vektor dikenal pula vektor nol, yaitu vektor yang panjangnya nol, dengan arah sebarang yang menyesuaikan dengan operasi yang mengikutinya. Secara geometri vektor nol dapat digambarkan sebagai sebuah titik.

Penjumlahan a dan c, dilakukan dengan cara sebagai berikut: geserlah letak c, sehingga titik awal c berhimpit dengan titik akhir a, maka a+c adalah vektor yang titik awalnya titik awal a dan titik akhirnya titik akhir c. Tentunya dengan cara yang serupa kita dapat menggeser a sehingga titik awal a berhimpit dengan titik akhir c, dan c+a adalah vektor yang titik awalnya titik awal c dan titik akhirnya titik akhir a. Metode ini disebut metode jajaran genjang.

Sedangkan operasi perkalian dengan skalar dinyatakan, untuk kasus k a, berarti panjang ruas garis ka adalah sepanjang |k| (nilai mutlak dari k) dikali panjang a, sedangkan arahnya, jika k positif sama dengan arah a, sedangkan jika k negatif berlawanan arah dengan a.

Jika |k| < 1 disebut pemampatan (panjang ka lebih pendek dibanding panjang a), dan jika |k|>1 disebut perenggangan (panjang ka lebih panjang dibanding panjang a). Akibat dari operasi ini, maka dapat didefinisikan operasi pengurangan vektor, yaitu:

a - b = a +(-b) = a + (-1)b

Secara analitis, sebuah vektor di bidang dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terurut, misalkan a=(a1, a2) yang digambarkan di dalam koordinat 2 sumbu yang saling tegak lurus. Sedangkan vektor di ruang (∇3) dapat digambarkan menggunakan koordinat 3 sumbu yang saling tegak lurus, yang mengikuti aturan tangan kanan, dan secara analitis dinyatakan sebagai tiga bilangan terurut, a=(a1, a2, a3). Vektor yang titik awalnya di titik asal {(0,0) untuk vektor di bidang dan (0, 0, 0) untuk vektor di ruang} disebut vektor posisi.

Untuk a=(a1, a2) dan b=(b1,b2), berlaku:

1. a=b, berarti a1=b1 dan a2=b2

2. a+b=(a1+b1, a2+b2) (entri yang seletak dijumlahkan)

3. ka=(ka1, ka2) (setiap entri dikalikan dengan k)

4. a - b=a+(-b)=a+(-1)b=(a1-b1, a2-b2)

Untuk a=(a1, a2, a3) dan b=(b1, b2, b3), berlaku:
1. a=b, berarti a1=b1, a2=b2 dan a3=b3
2. a+b=(a1+b1, a2+b2, a3+b3) (entri yang seletak dijumlahkan)
3. ka=(ka1, ka2, ka3) (setiap entri dikalikan dengan k)
4. a - b=a+(-b)=a+(-1)b=(a1-b1, a2-b2, a3-b3)

Contoh:
Jika a=(2, 3, -1), b=(0, -2, 4), dan c=(1, -1, 1), Tentukan:
a. a+c
b. -5c
c. 2a+3b
d. -a+2b+3c
e. a - b

Jawab:
a. a+c=(3, 2, 0)
b. -5c=(-5, 5, -5)
c. 2a+3b=(4, 6, -2)+(0, -6, 12)=(4, 0, 10)
d. -a+2b+3c=(-2, -3, 1)+(0, -4, 8)+(3, -3, 3)=(-2, -7, 9)+(3, -3, 3)=(1, -10, 12)
e. a - b=(2, 5, -5)

Sifat Vektor R2 dan R3 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar :
Jika u, v, w R2 atau R3 dan k, l skalar (bilangan riil), berlaku:
1. u + v = v + u (sifat komutatif).
2. (u + v) + w = v + (u + w) (sifat asosiatif)
3. o + u = u + o = u (identitas penjumlahan)
4. u + u = u + (-u) = o (invers penjumlahan)
5. k(u + v) = ku + kv
6. (k + l)u = ku + lu
7. (kl)u=k(lu)
8. 1u=u